MAT6030 Algèbre (2 crédits)

Étude approfondie des concepts fondamentaux de l'algèbre. Récurrence. Nombres entiers, division euclidienne. Théorème fondamental de l'arithmétique. Infinitude des nombres premiers. Nombres rationnels, réels, complexes: plan complexe, formule de De Moivre. Théorème fondamental de l'algèbre. Congruences, classes résiduelles; théorème chinois. Structures algébriques: monoïdes, groupes; sous-structures, isomorphismes, homomorphismes; groupes quotients et théorème d'isomorphie. Étude du groupe symétrique. Exemples: division euclidienne et numération, formule de Cardan, binôme de Newton, monoïdes d'endofonctions et automates, groupes cycliques, groupes diédraux, rotations, translations, symétries, réflexions, groupes de matrices. Anneaux, idéaux, idéaux engendrés. Anneaux de matrices. Corps de fractions d'un anneau intègre. Anneaux de polynômes et de séries formelles à une ou plusieurs indéterminées. Inversibilité sous la substitution. Anneaux factoriels. Éléments premiers, irréductibles, associés. Factorialité de tout anneau principal. Équations et variétés algébriques. Polynômes homogènes. Courbes et surfaces (théorème de Gauss).